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第五章 非线性方程的数值解法_图文

第五章 非线性方程的数值解法_图文

第五章 非线性方程的数值解法
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 二分法 迭代法 牛顿法 弦截法


※非线性方程: ※代数方程:



指次数不低于二的代数方程和超出方程。
16世纪:找到三次、四次方程的求根公式; 19世纪:证清晰了了5次以上的浅易代数方程无公式解。

※工程中常有此类方程,例如:在风道设计盘算 中,
通常接纳柯氏公式:
1 B 2.51 ? ?2lg( ? ) 3.7 D Re ? ?

——5.1

盘算管壁的磨擦阻力系数?,这现实就是求解方程(5.1)。

※解题法式模范: (即求方程f ( x) ? 0的根)
№1 一定初始区间:

由零点定理,使f (a) ? f (b) ? 0,且f ( x)单调。
浅易题中给出或画出函数图形或由现实意义取得。 №2 经由历程二分法求得一个较量粗拙的近似值。

№3 应用其它解法求得精度较高的近似值。

§5.1 二分法
一、二分法:
设f ( x)在[a, b]上一连,且f (a)?f (b) ? (设f (a) ? 0, 0 f (b) ? 0), , b)为有根区间,且只需独逐一个根, (a 每次把含根区间徐徐分半,检查函数值符号的变 化,以便一定含根的充实小区间。

※几何意义:

a

x1 a

x*
b x2

b

xk ?1 ? xk ? ε1



f ( x ) ? ε2

图5-1

二分法的几何意义

用二分法求x3 ? 2x ? 5 ? 0在(2, 3)之间的根。 [例]

[解]

n

1 2 3 4 5 6

函数值符号 f(2)=-1<0 f(3)=16>0 f(2.5)>0 f(2.25)>0 f(2.125)>0 f(2.0625)<0 f(2.09375)<0 f(2.109375)>0

有根区间 (2,3) (2,2.5) (2,2.25) (2,2.125) (2.0625,2.125) (2.09375,2.125) (2.09375,2.109375)
*

故取x ? x7 ? 2.1015625,而x ? 2.0945515

2、算法与流程图:
1.算法: 取定一个异常小的数? ? 0

a?b () c ? 1 取 ,若 f (c) ? ?,则停机,否则转(2); 2
(2) f (a )?f (c) ? 0,取a1 ? a,b1 ? c; 若 若f (a)?f (c) ? 0,取a1 ? c,b1 ? b,则得新的有根 区间[a1,b1 ],并令a1 ? a,b1 ? b,转( ); 1

2.流程图:(略) 3.C-法式模范模范:

# include <math.h> # include <stdio.h> # define A 2 # define B 3 float f(x) float x; { float y; y=x*x*x-2*x-5; return(y); }

main() { float a=A,b=B,x; x=(a+b)/2; if(f(x)<=1e-8) printf("The root is %f\n",x); while(fabs(f(x))>1e-5) { if(f(a)*f(x)<0) b=x; else a=x; x=(a+b)/2; } printf("x=%f\n",x); }

3、误差预计定理:(证实略)
给定方程f ( x) ? 0,设f ( x)于[a, b]上一连,且f (a)?f (b) ? 0, 则由二分法发生序列{xk }收敛于方程f ( x) ? 0的根x?,且 b?a xk ? x ? k ? 0 (k ? 1, 2,?) 2
?

1 如前例误差限为: 7 ? 0.078125 2

♀优点:法式模范模范质朴,对函数性子请求低,只需一连就
可以了,收敛速率不算太低。 ♀弱点:不克不及求偶数重根,也不克不及求复根和虚根。

§5.2 迭代法
♀ 迭代法是一种逐次切远亲近法,可用来求解代数方程、
超出方程、微分方程、方程组和求矩阵的特点值等。 存在收敛性及收敛快慢的效果。

♀ 已知非线性型方程的一个近似根后,可用迭代法
使这个根徐徐准确化,一直到知足精度为止。

一、迭代公式:
1.改写:将f ( x) ? 0转化为等价形式x ? ? ( x)。 ——5.2

[如]令? ( x) ? f ( x) ? x ? x
2.迭代: 在有根区间[a, b]上任取一点x0 (称为初值),
代入? ( x),得x1 ? ? ( x0 )。 称xn?1 ? ? ( xn )

——5.3 为迭代公式,? ( x)为迭代函数。 3.迭代序列的收敛性与几何诠释: 由xn?1 ? ? ( xn )取得一个近似根的序列{xn },当n ? ??
时,若xn ? x*,则称{xn }收敛于x*。

{xn }能否收敛,且能否收敛于f ( x) ? 0的根,可归结为找直 线y ? x与曲线y ? ? ( x)的交点横坐标,由下图可知,能够 收敛,也能够或许发散。
y p1 p0 y=x y=g(x) y y=g(x) p0 y=x

?
x x0 x1 x* x0 x*

p1

?
x

x1

图5-2

迭代法的几何意义

2、收敛条件:
★定理5.1: 若函数? ( x)对一切x都有 ? ?( x) ? q ?(q为某定数),则上述迭代序列{xn }对任 1
意的初值x 0 均收敛,其极限就是方程x ? ? ( x)的根。且 q越小,收敛越快。

证实:设x*是方程x ? ? ( x)的根,即x* ? ? ( x*)。由微 分中值定理:x * ? xn ?1 ? ? ?(? )( x * ? xn )(? 位于x *,xn之
间),又已知 ? ?( x) ? q ? 1,以是:
x* ? xn ?1 ? q x* ? xn ? q 2 x* ? xn ?1 ? ? ? q n ?1 x* ? x0

由q ? 1,有 lim xn ? x*,
n ??

即证清晰了了迭代序列{xn }对随便任性初值x0均收敛,且极限值即是 方程x ? ? ( x)的根。
往证q越小,收敛越快。
对给定的?,要使 x* ? xn ? q n x* ? x0 ? ?,只须

n?ln q ? ln

?
x ? x0
*

ln ,即n ?

?

x* ? x0 ln q



——5.4

证毕。

※ 为了控制迭代次数,我们给出以下定理。

★定理5.2: 对一切x,若有 ??( x) ? q ? 1(q为某定数),则有
q 误差预计: ? xn ? x xn ? xn ?1 (证略)。 ——5.5 1? q
*

※ 上机时,可应用(5.5)阻拦运算。

通常取一个异常小的数? ? 0,使 xn ? xn?1 ? ?便可。
※ 上述定理条件可削弱为

? ?( x)在x*上一连,且 ? ?( x* ) ? q ? 1。

♀优点:逻辑结构质朴

1 ?3 ln [例]求x ? e 在[ , 2]中的根,取? ? 10 。 2
?x

1 [解] 取? ( x) ? e ,当x ? [ , 2]时有 ln 2
?x

?( x) ? ?e ? x ? e =0.606531, ? 由定理5.1可知,迭代名堂xn ?1 ? e ? xn 收敛。
盘算效果以下表,其中最后一个效果x10知足精度请求。

-

1 2

n 0 1 2

xn
0.5 0.60653 0.54524

xn ? xn?1
0.10653 -0.61929

n 6 7 8

xn
0.56486 0.56884 0.56641

xn ? xn?1
-0.00631 0.00358 -0.00203

3
4 5

0.57970
0.56006 0.57117

0.34446
-0.1964 0.0111

9
10

0.56756
0.56691

0.00115
-0.00065

[例]为求方程x

3

? x ? 1 ? 0在x0 ? 1.5相近一根,现将
2

方程转化为等价形式且培植迭代公式:
1 1 (1)x ? 1 ? 2 ,迭代公式xn ?1 ? 1 ? 2 ? g1 ( xn ) x xn 1 1 2 (?)x ? 3 ,迭代公式xn?1 ? ? ? g2 ( xn ) 3 x ?1 xn ? 1

这两种历程都收敛吗?

1 ? ( x) ? ? 2 , [解](1)x ? 1 ? 2 ,g1 x x3 ? ( x) ? 2 ? 1, 当x ? 1.5时, 1 g 3.375 故迭代名堂( )收敛。 1
(?)g 2 ( x) ? ? 1 x ?1
3

, g 2? ( x) ? ? ?

3x 2 2 ( x ? 1)
3 3



g 2? (1.5) ? 1,故迭代名堂(2)发散。

§5.3 牛顿法
♀将非线性函数线性化;
在单根相近收敛快,且可盘算代数方程的复根。

一、公式及误差剖析:
1.公式:
方程f ( x) ? 0,f ( x)在[a, b]上一连,且f (a)?f (b) ? 0。

用曲线y ? f ( x)在点( x0 , f ( x0 ))的切线近似取代函数f ( x), 即取y ? f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 )的零点x1作为f ( x) ? 0的根x* 的近似值。

即 f ( x0 ) ? f ?( x0 )( x ? x0 ) ? 0
f ( x0 ) ? x1 ? x0 ? f ?( x0 ) 浅易地,取初值x ? x0,有迭代公式 f ( xn ) xn?1 ? xn ? ——5.6 f ?( xn )
这就是牛顿(Newton)法的迭代公式。

♀优点:收敛速率快,可盘算双数根。 ♀弱点:须要盘算导数值。

2.几何意义:
y

x* x2 x1 x0

x

图5-3

牛顿法的几何意义

3.收敛性: 设将所给方程f ( x) ? 0改写成以下等价形式
f ( x) x ? x? ? ? ( x) f ?( x) 那么对这一方程培植的迭代名堂xn?1 ? ? ( xn )

显着就是牛顿公式(5.6)。

由于

f ( x) f ??( x) ? ?( x) ? 2 ? f ?( x)?

——5.7

凭证上节的效果,则可知牛顿法的迭代公式收敛的一个 充实条件是

f ( x) f ??( x) ? ?( x) ? ? q ?1 2 ? f ?( x)?

——5.8

若x*是方程f ( x) ? 0的一个单根(即f ( x* ) ? 0,f ?( x* ) ? 0), ?( x* ) ? 0,可见在单根x*得相近,牛顿 则由(5.7)可知? 法恒收敛,且收敛的速率很快。

再考察误差en ? xn ? x*的性态。 对浅易的迭代名堂xn?1 ? ? ( xn ),由
xn?1 ? x* ? ? ( xn ) ? ? ( x* )
应用微分中值定理知
*

——5.9
*

en?1 ? ??(? )en

这里? 为xn与x 之间的某一点,是以当xn在根x 的相近时, 将有
即误差en?1是en的线性函数,这时间间称迭代历程xn?1 ? ? ( xn )
具有线性收敛性。

en?1 ? ??( x)en

显着,??( x* )越小,名堂xn?1 ? ?( xn )收敛的速率越快,

对牛顿法有??( x* ) ? 0,这时间间 ? ??( x* ) * ? ( x ) ? ? ( x* ) ? ( x ? xn )2 2 代入(5.9)得 ? ??( x* ) 2

en ?1 ?

2

en

对(5.7)求导知 因此有

??( x* ) f * ? ??( x ) ? f ?( x* ) f ??( x* ) 2 en?1 ? en * 2 f ?( x )

因此可知,牛顿法的误差en?1与en的平方成正比,
由于误差的这一特点而称牛顿法具有平方收敛性。

1 ln [例]用牛顿法求x ? e 在[ , 2]中的根 2 xn e xn ? 1 xn ? e? xn [解]xn?1 ? xn ? exn ? x exn ? xn ? 1 ? x 取x0 ? 0.5 n n
?x

n

xn

0 0.5
*

1 2 3 0.57102 0.56716 0.56714

准确解x ? 0.56714329040978?
☆ 收敛速率远高于前一种迭代名堂

2、算法与流程图:
1.流程图:(略) 2.C法式模范模范:
#include "math.h" #include "stdio.h" #define X0 0.5 #define E 1e-10 double g(x) double x; { double y; y=x-(x-exp(-x))/(1+x); return y; }

main() { double x1,x2;

x1=X0;
x2=g(x1); while(fabs(x2-x1)>E)

{
x1=x2; x2=g(x1); } printf("The root is %f.\n",x2); }

§5.4 弦截法
※ 牛顿法收敛速率很快,但需盘算导数,关于严重 函数未便利。 f ( xn ) ? f ( x0 ) ※ 用差商 替换牛顿公式中的导数f ?( xn ) xn ? x0

一、弦截法:
1.弦截公式:

f ( xn ) ? ? xn ?1 ? xn ? f ( x ) ? f ( x ) ( xn ? x0 ) ? n 0 ?初值x 、x 0 1 ?

——5.10

2.几何意义:
按公式(5.10)求出 的xn ?1现实上是割 线M 0 M n与x轴的 交点。 是以,此算

M0
割线 切线

Mn

y ? f ( x)

x* xn ?1 xn x0

法被称为弦截法。
* *

图5-4

弦截法的几何意义

3.收敛性: 应用公式(5.10),得
f ( xn ) xn?1 ? x ? xn ? x ? [( xn ? x* ) ? ( x0 ? x* )] f ( xn ) ? f ( x0 )

记en ? xn ? x*体现盘算效果xn的误差,则有

f ( xn ) en?1 ? en ? (en ? e0 ) f ( xn ) ? f ( x0 )
在根x 处睁开f ( xn ),有
*

——5.11

f ??( x* ) f ( xn ) ? f ?( x* )( xn ? x* ) ? ( xn ? x* ) 2 2 f ??( x* ) 2 ? f ?( x* )en ? en 2 f ??( x* ) 2 f ( x0 ) ? f ?( x* )e0 ? e0 特殊地 2

代入(5.11),有

??( x* ) 2 f * f ?( x )en ? en 2 en ?1 ? en ? ??( x* ) f * f ?( x ) ? (en ? e0 ) 2 f ??( x* ) en e0 2 ? f ??( x* ) ?( x* ) ? f (en e0 ) 2 f ??( x* )e0 略去分母中的一阶项得 e ? en n ?1 * 2 f ?( x )
因此可知,弦截公式(5.10)仅仅是线性收敛的, 慢于牛顿法。

2、快速弦截法:
f ( xn ) ? f ( xn?1 ) 改用差商 替换牛顿公式中的导数f ?( xn ) xn ? xn?1
取得以下盘算公式:

f ( xn ) ? ? xn ?1 ? xn ? f ( x ) ? f ( x ) ( xn ? xn ?1 ) ? n n ?1 ——5.12 ?初值x 、x 0 1 ?
可以证实其误差为

??( x* ) f en?1 ? en en ?1 * 2 f ?( x )

即误差en?1与前两步的误差en、en-1的乘积成正比,
这类收敛速率是较量快的,我们称公式(5.11)为 快速弦截法。 ※ 收敛速率快,与牛顿法相当。
B

※ 盘算前须要取两个初值。 ※ 我们称快速弦截法(5.11)是 多步迭代,而牛顿轨则是一 步迭代。 ※ 几何意义:
xn ?1 xn ?1

y ? f (x )

xn ? 2
x*

xn

A

图5-5

快速弦截法的几何意义

1 用快速弦截法求x ? e 在[ , 2]中的根 ln [例] 2
?x

[解] 取x0 ? 0.5,x1 ? 0.6
xn e ? 1 xn?1 ? xn ? ( xn ? xn?1 ) xn xn?1 xn e ? xn?1e
xn

0 1 2 3 4 xn 0.5 0.6 0.56754 0.56715 0.56714
准确解x ? 0.56714329040978?
*

n

☆ 收敛速率与牛顿法相当

3.Mathematica方程求根函数:
Solve[方程或方程组,{变量表列}] 求解多项式方程的准确解

NSolve[方程或方程组,{变量表列}]
求解方程的数值解 FindRoot[方程,{变量,初值表列}] 应用牛顿法或割线法求解随便任性方程的数值解,一次 只能求一个解,凭证须要初值可以为一个、两个, 或一个区间。


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